MÉTHODE DE PAVAGE FIGURATIF

Mise en ligne gratuite de mon livre "Parcelles d'infini - Promenade au jardin d'Escher"
publié aux Éditions Pour la Science, ISBN 2-84245-075-2, en 2005

Avec tous mes remerciements à David Bailey www.tess-elation.co.uk pour son aide précieuse concernant la traduction.
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Sommaire

1     Imiter la nature

2     Transformer les polygones

3     Assembler les pavés

4     Tisser les canevas

5     Utiliser les polygones de base

6     Diviser les pavés

7     Paver avec des mots

8     Déformer les canevas

9     Jouer avec les isométries

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Avant-propos

L’inventeur a, tout à coup, le sentiment très net
que les conceptions auxquelles il vient de parvenir (…)
existaient déjà avant d’avoir jamais été pensées dans le cerveau humain.

Louis de BROGLIE

Ma chanson n’est vraiment terminée
que lorsqu’elle a l’air de s’être faite toute seule.

Georges BRASSENS

C’est une sensation que je ressens
chaque fois que j’exécute un projet de remplissage périodique d’un plan.
Il me semble que ce n’est pas «moi» qui décide des formes
mais que ces simples taches sur lesquelles je me penche ont leur propre volonté,
que ce sont elles qui guident le mouvement de ma main.

Maurits Cornelis ESCHER

"Il y a très longtemps, je rencontrais par hasard le domaine de la division régulière de plan ; je vis une haute muraille et j’eus la prémonition qu’il devait avoir une énigme, que quelque chose était peut-être caché derrière ce mur par-dessus lequel je grimpais avec quelque difficulté. De l’autre coté, j’atterris dans une jungle où il me fallut faire de grands efforts pour me frayer un chemin, jusqu’au jour où - par un parcours indirect - j’arrivai à la porte, la porte ouverte des mathématiques."

"Je m’y promène tout seul, dans ce magnifique jardin qui n’est cependant nullement ma propriété privée et dont la porte reste ouverte à tout le monde."

Maurits Cornelis ESCHER
Remplissage périodique d’un plan

Cette méthode, extraite de mon livre «Parcelles d’infini», vous propose une promenade dans le jardin de la division régulière du plan qu’Escher a exploré dans maintes directions. Ce domaine peut paraître limité si l’on en juge par le peu d’œuvres en provenant. J’espère que ce qui suit vous fera prendre conscience qu’il existe une infinité de motifs figuratifs possibles. Et que ce n’est pas copier Escher que de faire une division périodique du plan.

… Pas plus que ce n’est copier Jean-Pélerin * que de faire un dessin en perspective.

Et si, comme je le souhaite, l’envie vous prend de réaliser des «pavés» figuratifs, vous trouverez, au fil des pages, comment leur donner naissance.
Et quand, après quelques difficultés, vous en aurez réussi un, vous éprouverez un grand sentiment de joie et d’humilité devant cette «PARCELLE D’INFINI».

ligne noire

*. Dit le Viator. On lui doit le premier traité de perspective imprimé paru en 1505.

1   IMITER LA NATURE

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Il y a tant d’art dans la nature
que l’art même ne consiste qu’à bien l’entendre et à l’imiter.

Jacques Bénigne BOSSUET

C’est une triste chose de penser que la nature parle
et que le genre humain n’écoute pas.

Victor HUGO

lettrine les lois de hommes sont éphémères, celles de la nature sont éternelles. Même si nos incursions sur ses chemins  seront toujours modestes, cela reste une grande joie et un grand honneur que de pouvoir imaginer des variations planes sur ses propres canevas.
       Les rayons des abeilles, les écailles des poissons ou les tournesols nous donnent de beaux exemples de pavage mais ce sont surtout les cristaux que la nature nous offre pour nous montrer la voie. On trouve dans leur structure les 17 groupes de symétrie permettant de répéter un motif à l’infini. Mais pour dessiner des pavages figuratifs il est préférable de nous créer une classification à la fois plus simple et plus adaptée. C’est ce que nous allons faire.
logo infini 1

Il n’y a que trois polygones réguliers pouvant diviser périodiquement le plan, ce sont :

pavage triangle

Le triangle

pavage carre

Le carré

pavage hexagone

L'hexagone

Mais, par bonheur, quantités de polygones irréguliers peuvent également diviser périodiquement le plan.
       Quelques exemples :

pavage triangle quelconque

Le triangle quelconque

pavage triangla rectangle isocèle

Le triangle rectangle isocèle

pavage losange 2 angles 120°

Le losange 2 angles de 120°

pavage losange quelconque

Le losange quelconque

pavage parallelogramme

Le parallélogramme

pavage quadrilatère quelconque

Le quadrilatère quelconque

pavage pentagone 2 côtés parallèles

Le pentagone 2 côtés
parallèles et égaux

pavage hexagone 2 côtés opposés

L'hexagone 2 côtés opposés
parallèles et égaux entre 2 fois
2 côtés adjacents et égaux

De plus, il est possible de remplacer les côtés de tous les polygones divisant périodiquement le plan, par des déformations compensées ne modifiant pas leur surface.
       Exemples :

translation déformée

Translations de déformations compensées sur parallélo-gramme

Translations de déformations compensées sur hexagone ayant ses côtés opposés parallèles

translations déformées

La multiplicité des déformations compensées réalisables apporte l’étonnante possibilité de donner naissance à une infinité de motifs figuratifs.
Exemples :

pavage carrés

Translations progressives de déformations compensées sur carrés

pavage carrés oiseaux

Transformations par translations d'un même rectangle en six oiseaux différents

Le polygone de base ayant subi les déformations compensées se nomme pavé.
       Exemples :

• Translations sur un parallélogramme :

pavés renard

Polygone de base

Déformations compensées

Pavé

• Translations sur un carré :

pavés sorcier

Polygone de base

Déformations compensées

Pavé

• Translations sur un hexagone concave :

pavés karaté

Polygone de base

Déformations compensées

Pavé

• Translations sur un hexagone régulier :

pavés homme hexagone

Polygone de base

Déformations compensées

Pavé

pavage lueur

Lueur

pavage renards à la lune

Renards à la lune

pavage fraternité

Fraternité

pavage sorcier bondissant

Sorciers bondissants

pavage karaté

Karaté

Un papier quadrillé facilite le traçage du pavé.
       Exemple :

pavés toutou quadri

Polygone de base. Il s'agit pour
nous d'un hexagone dont 2 x 2
  côtés sont en prolongement

Déformations compensées

Pavé

Un ensemble de pavés se nomme pavage :

lucky chien tessellation

Lucky Blanchepatte, mon cher chien disparu

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2   TRANSFORMER LES POLYGONES

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La géométrie est aux arts plastiques
ce que la grammaire est à l’art de l’écrivain.

Guillaume APOLLINAIRE

Plus l’art est contrôlé, limité, travaillé
et plus il est libre.

Igor STRAVINSKY

lettrine essayer de donner naissance à des motifs figuratifs  sans bases géométriques donne des résultats très limités. Les polygones sont les œufs desquels vont éclore une multitude de personnages.
pavage hexa poussin pavé hexa poussin logo infini

Il y a trois déformations possibles pouvant remplacer les côtés d’un polygone :
        1. Quelconque (comme son nom l’indique) :

côté de polygone avant déformation


côté de polygone après déformation


axe de symétrie


centre de rotation

deformation quelconque

2. Axiale (déformation quelconque plus sa réflexion par rapport à un axe) :

déformation axiale

3. Rotatoire (déformation quelconque plus sa rotation à 180°) :

déformation rotatoire

La déformation quelconque ou axiale d’un côté devra toujours être compensée par une déformation identique sur un autre côté. La déformation rotatoire se compense elle-même. On nomme ces compensations isométries.

Il y a quatre types d'isométries :

1. La translation est le simple glissement rectiligne d’une déformation :

2. La rotation est, soit une déformation rotatoire, soit le pivotement d’une déformation autour d’un centre de rotation

pavé oiseau rotation pavé oiseau translation

3. La réflexion glissée est la réflexion d’une déformation par rapport à un axe, suivie d’une translation :

4. La symétrie est la réflexion d’une déformation par rapport à un axe :

pavé oiseau symétrique pavé oiseau réflexion glissée

Exemples :

• Deux translations sur parallélogramme :

pavage toucans

• Une rotation à 180° et une autre à 60°sur triangle équilatéral :

pavage oiseaux tournants

• Une réflexion glissée ainsi qu'une translation sur parallélogramme :

pavage hirondelles

• Deux réflexions glissées symétriques et une translation axiale sur hexagone :

pavage oiseaux à pattes

La réflexion glissée nécessite quelques précisions :

- Les côtés du polygone peuvent être adjacents (avoir une extrémité commune) ou non-adjacents :

Un polygone peut posséder deux réflexions glissées. Dans ce cas, leurs axes vecteurs sont soit parallèles soit perpendiculaires :

glide reflection
adjacentsnon-adjacents
Parallèlesperpendiculaires




Le tracé des
réflexions glissées
est particulièrement
simplifié sur une
feuille de papier
quadrillé

Soit L la longueur des côtés du polygone :

calcul vecteur réflexions glissées

Les points v et v’ permettent de tracer l’axe vecteur des réflexions glissées. Cet axe vecteur indique l’axe de réflexion ainsi que la direction et la longueur du glissement.

Exemple :

deux réflexions perpendiculaires

Le polygone de base de cet oiseau est un pentagone concave possédant un côté rotatoire et deux fois deux côtés d’axes vecteurs perpendiculaires.

pavage oiseaux double réflexion

ISOMÉTRIES

DÉSIGNATIONS
ET ABRÉVIATIONS
CONDITIONS
DANS LE POLYGONE
REPRÉSENTATIONS
SIMPLIFIÉS
La translationT2 côtés parallèles et égaux

La rotation

  - 180°

R2

1 côté quelconque

  - 120°

R3

2 côtés égaux adjacents à 120°

  - 90°

R4

2 côtés égaux adjacents à 90°

  - 60°

R6

2 côtés égaux adjacents à 60°


La réflexion glissée
(Si il y en a 2 dans le polygone,
on rajoute
' pour la 2e)


G


2 côtés égaux

La symétrie

S

2 côtés symétriques

Il y a quatre types de polygones pouvant diviser périodiquement le plan :

quatre polygones pavages
le trianglele quadrilatèrele pentagonel'hexagone

La recherche systématique de toutes les combinaisons possibles entre les quatre isométries et les quatre types de polygones permet d’aboutir à une grande quantité de polygones spécifiques dont on élimine ceux ne pouvant pas remplir le plan.
       Exemples :

Il reste alors 81 polygones spécifiques, appelés pavés isoédriques, desquels on élimine aussi ceux dont les possibilités d’obtention de motif figuratif sont trop réduites :

       - car ayant un ou plusieurs bords rectilignes :

pavé bord rectiligne

retenu car









éliminé car

- car ayant une symétrie centrale :

pavé symétrie centrale

En fin de compte, il reste 35 pavés modulables ; 35 parcelles d’infini, que le magicien qui sommeille peut-être en vous, va transformer en lapin, en papillon ou en colombe.

chapeau haut de forme pavé transformation colombe
pavage colombes

Colombes

La nécessité de mettre un cadre à cette méthode ne doit pas faire oublier qu’il y a toujours des possibilités de sortir du cadre.

Exemples :
      • Le splendide «chinois» d’Escher possède deux côtés rectilignes :

• Demi-tour de carte possède un axe de rotation central :

pavé reine double chinois escher
demi tour de carte

Demi-tour de carte

Voici son polygone de base :

polygone chinois trait noir

• De même pour la pieuvre

pavage pieuvre
pavé polygone pieuvre ligne de séparation

3   ASSEMBLER LES PAVÉS

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Il arrive parfois qu’une personne (…)
sente naître et se développer en elle, un jour,
un désir très conscient d’approcher par l’imagination,
l’infini le plus près possible
et de la manière la plus pure.

Maurits Cornelis ESCHER

N’espère rien de l’homme
s’il travaille pour sa propre vie et non pour l’éternité.

Antoine de SAINT-EXUPÉRY

Le sentiment de l’infini
est le véritable attribut de l’homme.

Madame de STAËL

lettrine assembler les pavés, c’est disposer des parcelles  d’infini sur des trames éternelles. Assembler les pavés, c’est le privilège de jouer au puzzle avec l’univers.
pavage oiseaux arc en ciel logo infini

Des pavés semblables à un pavé modulable peuvent s’emboîter sur lui après rotation et/ou réflexion glissée. Ils ont alors une orientation différente.

      Exemples :

différentes orientations oiseaux
Réflexion glisséeRotationRéflexion glissée + rotation

Puis cet ensemble de pavés peut à son tour s’emboîter sur son semblable par translation, et ceci peut être continué jusqu’à l’infini :

pavage ensembles d'oiseaux
Type 1GType 2Type 2G

Tous ces pavés semblables sont les transformées du pavé modulable de base. L’ensemble, nous l’avons vu, se nomme pavage.

pavage ronde d'oiseaux amoureux

Cette ronde d’amoureux ne demande qu’à s’agrandir !

Visuellement, ce qui caractérise en premier lieu un pavage est le nombre de directions prises par ses motifs. Il y a six directions possibles, il y aura donc six types de départ.

Le type 1 aura tous ces pavés dans la même direction. Le type 2 aura ses pavés tête-bêche. Le type 3 aura ses pavés dans trois directions, le type 4 dans quatre directions et le type 6 dans six directions.

Exemples :

        • Type 1, l'athlète :

• Type 3, le lézard :

pavage lézards type 3

• Type 4, le chaton :

pavage athlètes type 1 pavage chatons type 4

• Type 2, la sirène :

• Type 6, l'otarie :

pavage sirènes type 2 pavage otaries type 6

Ensuite, les pavages à une ou deux directions peuvent avoir leurs motifs réfléchis. Il y aura donc également un type 1G (G pour réflexion Glissée) et un type 2G.

• Type 1G, le coq :

• Type 2G, le chien :

pavage coqs type 1g pavage chiens type 2g

Enfin, les pavages de types 1, 2, 3 et 4 peuvent avoir leurs motifs symétriques. Nous aurons donc en plus le type 1S, le type 2S, le type 3S et le type 4S.

• Type 1S, le gorille :

• Type 2S, le papillon :

pavage gorilles type 1s pavage papillons type 2s

• Type 3S, le canard :

• Type 4S, la rainette :

pavage canards type 3s pavage rainettes type 4s

Soit en tout 11 types qui vont se retrouver sur 11 canevas. De plus, ces 11 types possèdent des sous-types classés selon leur polygone de base. Au total nous retrouvons les 35 pavés modulables du chapitre précédent.

• Le polygone de base du chaton est un triangle rectangle isocèle. On le désignera par les isométries de ses côtés, soit R2 R4 R4 :

• Quand à celui de la rainette, c’est un carré. Désignation R4S R4S R4S R4S :

pavé rainettes pavé châtons

Voici maintenant les désignations des polygones de base pour :

     • l'athlète : T T T T T T
     • la sirène : R2 R2 R2
     • le lézard : R3 R3 R3 R3
     • l'otarie : R2 R6 R6
     • le coq : T G T G
     • le chien : R2 G G
     • le gorille : T GS GS T GS GS
     • le papillon : T R2S R2S T R2S R2S

• Celui du canard est un losange ayant deux angles de 120°. Nous le désignerons par R3S R3S R3S R3S car les côtés sont à la fois des rotations 3 et des symétries :

pavé canards

Le polygone de base du «fou» est un hexagone régulier. Désignation R3 R3 R3 R3 R3 R3 :

L’utilisation de papier triangulé s’avère indispensable pour le
traçage des pavés possédant des isométries de rotation 3 ou 6.

pavage chatons

Chatons

pavage canards hexagone

Canards

pavage échiquier rainettes

Échiquier aux rainettes

pavage puzzle du fou

Le puzzle du fou

• Le polygone de base du « p’tit costaud » est un carré. On le désigne par R4 R4 R4 R4.

• Celui d’Escher (eh oui ! même le profil d’Escher est un pavé !) est un hexagone. Désignation T R2 R2 T R2 R2.

pavés p'tit costaud pavés escher hexagone pavage p'tit costaud pavage profil escher ligne séparation

4   TISSER LES CANEVAS

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S'il n'y a pas de truc, c'est fort …
S'il y a un truc, c'est encore plus fort !

MYR et MYROSKA

Toutes les choses, proches ou lointaines,
secrètement sont reliées les unes aux autres
et tu ne peux pas toucher une fleur sans déranger une étoile.

Francis Joseph THOMPSON

lettrine les canevas sont semblables aux coulisses des  théâtres de magie, en cela qu’elles renferment tous les secrets nécessaires à la représentation. Connaître ces secrets ne désenchante que le sot.

35 pavés oiseaux logo infini



        Nous avons vu qu’il y a 11 canevas, mais les cristallographes dénombrent 17 groupes de symétrie. En fait, les six groupes manquants ne permettent pas de créer des motifs uniques. Nous les indiquerons quand même après les 11 canevas.


Les canevas sont représentés à l’aide des éléments suivants :

- centre de rotation :  

- axe de symétrie :  ———— — ——— — ———

- axe de réflexion glissée : ——————————

TYPE 2G (pgg)  
Rotation 180° + réflexion glissée + translation
Canevas + polygone de base
et ses transformées avant translations
Exemple de pavé
de base
Exemple de pavé figuratifExemple de pavage fléché et
colorié (minimum de couleurs)

b (IH53)  Quadrilatère R2 R2 G G
36 / 412 / 77 / 98 / 116

Le groupe de symétrie utilisé est celui des Tables internationales de la cristallographie des rayons X.
Le type isoédrique est celui défini par B. Grünbaum et G. C. Shephard dans leur livre Tilings and Patterns.
Lorsque l’on a plusieurs sortes de transformées avant translations comme dans le cas présent, on exécute d’abord la première : ce qui nous donne deux pavés. Puis nous faisons :
- soit la transformée des deux pavés ensembles (exemple du haut);
- soit la transformée de chacun des deux pavés séparément (exemple du bas avec des pavés concaves).

Les petits chiffres indiquent l'angle de rotation (2 = 180°, 3 = 120°, 4 = 90°, 6 = 60°).
Le canevas du type 1 sera absent car il ne comporte que des translations.
Dix-neuf polygones de base peuvent être concaves. Ce sont : 1b, 1Gb, 1Gc, 1Gd, 1Sb, 2b, 2d, 2e, 2Gb, 2Gc, 2Ge, 2Gf, 2Gg, 2Gh, 2Sb, 2Sc, 3b, 4c et 6d. Exemple :

Les chiffres indiquent le nombre de sommets adjacents.

Les 35 types de pavages seront représentés par 35 oiseaux.

Tous les pavages isoédriques peuvent être coloriés avec un minimum de deux ou trois couleurs. Si tous les sommets adjacents sont en nombres pairs, deux couleurs suffisent. S'il y a des sommets en nombres impairs, trois couleurs sont nécessaires.

TYPE 1 (p1)  
Translations
Canevas + polygone de base
avant translations
Exemple de pavé
de base
Exemple de pavé figuratifExemple de pavage fléché et
colorié (minimum de couleurs)

a (IH41)  Parallélogramme T T T T

38 / 472 / 482 / 492 / 502 / 522 / 73 / 74 / 80 / 105 / 106 / 127 / 128

b (IH1)  Hexagone T T T T T T

182 / 222 / 272 / 282 / 292 / 302 / 722 / 822 / 842 / 872 / 922 / 1112 / 1122 / 1132 / 1142 / 1202 / 1212 / 1292

TYPE 1G (pg)  
Réflexion glissée + translations
Canevas + polygone de base
et sa transformée avant translations
Exemple de pavé
de base
Exemple de pavé figuratifExemple de pavage fléché et
colorié (minimum de couleurs)

a (IH43)  Parallélogramme T G T G

31 / 32 / 7112 / 97 / 108 / 109

b (IH44)  Cerf-volant * G G G' G'

19 / 62 / 66 / 67 / 762 / 96 / 102 / A13

*. Un cerf-volant est un quadrilatère convexe dont une diagonale est perpendiculaire à l'autre en son milieu.

c (IH2)  Hexagone T G G T G' G'

242 / 262 / 78 / 1102 / 1262 / 1302

d (IH3)  Hexagone T G G' T G' G

17 / 342 / 612 / 632

TYPE 1S (cm)  
Translations
Canevas + polygone de base
avant translations
Exemple de pavé
de base
Exemple de pavé figuratifExemple de pavage fléché et
colorié (minimum de couleurs)

a (IH68)  Losange GS GS G'S G'S *

91 / A14

*. Les côtés avec réflexion glissée étant symétriques, ce sont donc également et obligatoirement des translations.

b (IH12)  Hexagone T GS GS T G'S G'S *

A1

*. Les côtés avec réflexion glissée étant symétriques, ce sont donc également et obligatoirement des translations.

TYPE 2 (p2)  
Rotation 180° + translations
Canevas + polygone de base
et sa transformée avant translations
Exemple de pavé
de base
Exemple de pavé figuratifExemple de pavage fléché et
colorié (minimum de couleurs)

a (IH84)  Triangle R2 R2 R2

51 / 95

b (IH46)  Quadrilatère R2 R2 R2 R2

9 / 88 / 90 / 93

c (IH47)  Parallélogramme T R2 T R2

75 / 1152

d (IH23)  Pentagone T R2 T R2 R2


Escher n'a pas fait de pavage de ce type

e (IH4)  Hexagone T R2 R2 T R2 R2

1 / 5 / 6 / 7 / 8 / 11 / A12

TYPE 2G (pgg)  
Rotation 180° + réflexion glissée + translations
Canevas + polygone de base
et ses transformées avant translations
Exemple de pavé
de base
Exemple de pavé figuratifExemple de pavage fléché et
colorié (minimum de couleurs)

a (IH86)  Triangle isocèle R2 G G


Escher n'a pas fait de pavage de ce type

b (IH53)  Quadrilatère R2 R2 G G

36 / 412 / 77 / 98 / 116

c (IH51)  Quadrilatère R2 G R2 G

33 / 107 / 124

d (IH52)  Rectangle G G' G G'

39

e (IH25)  Pentagone T R2 T G G

682

f (IH27)  Pentagone R2 G G' G G'

16 / 462 / 592 / 602

g (IH5)  Hexagone T R2 R2 T G G

10 / 582

h (IH6)  Hexagone R2 G R2 G' G G'

2

TYPE 2S (pmg)  
Rotation 180° + translations
Canevas + polygone de base
et sa transformée avant translations
Exemple de pavé
de base
Exemple de pavé figuratifExemple de pavage fléché et
colorié (minimum de couleurs)

a (IH66)  Rectangle T R2S T R2S *

40 / 117

*. Les côtés de rotations 2 étant symétriques, ce sont donc également et obligatoirement des réflexions glissées.

b (IH69)  Cerf-volant R2S R2S R2S R2S *

37 / 89

*. Les côtés de rotations 2 étant symétriques, ce sont donc également et obligatoirement des réflexions glissées.

c (IH13)  Hexagone T R2S R2S T R2S R2S *


Escher n'a pas fait de pavage de ce type

*. Les côtés de rotations 2 étant symétriques, ce sont donc également et obligatoirement des réflexions glissées.

TYPE 3 (p3)  
2 rotations 120° + translations
Canevas + polygone de base
et ses transformées avant translations
Exemple de pavé
de base
Exemple de pavé figuratifExemple de pavage fléché et
colorié (minimum de couleurs)

a (IH33)  Losange R3 R3 R3 R3


Escher n'a pas fait de pavage de ce type

b (IH7)  Hexagone R3 R3 R3 R3 R3 R3

21 / 25 / 432

TYPE 3S (p31m)  
2 rotations 120° + translations
Canevas + polygone de base
et ses transformées avant translations
Exemple de pavé
de base
Exemple de pavé figuratifExemple de pavage fléché et
colorié (minimum de couleurs)

a (IH36)  Losange R3S R3S R3S R3S *
532 / 542 / 103 / 123

*. Les côtés de rotations 3 étant symétriques, ce sont donc également et obligatoirement des réflexions glissées.

TYPE 4 (p4)  
3 rotations 90° + translations
Canevas + polygone de base
et ses transformées avant translations
Exemple de pavé
de base
Exemple de pavé figuratifExemple de pavage fléché et
colorié (minimum de couleurs)

a (IH79)  Triangle rectangle isocèle R2 R4 R4

35 / 118 / 119

b (IH55)  Carré R4 R4 R4 R4

15 / 23 / 104

c (IH28)  Pentagone R2 R4 R4 R4 R4

14 / 20 / 423,5

TYPE 4S (p4g)  
3 rotations 90° + translations
Canevas + polygone de base
et ses transformées avant translations
Exemple de pavé
de base
Exemple de pavé figuratifExemple de pavage fléché et
colorié (minimum de couleurs)

a (IH71)  Carré R4S R4S R4S R4S*
13 / 452 / 86 / 122 / 125

*. Les côtés de rotations 4 étant symétriques, ce sont donc également et obligatoirement des réflexions glissées.

TYPE 6 (p6)  
Rotations 180°° + 2 rotations 120° + translat.
Canevas + polygone de base
et ses transformées avant translations
Exemple de pavé
de base
Exemple de pavé figuratifExemple de pavage fléché et
colorié (minimum de couleurs)

a (IH88)  Triangle équilatéral R2 R6 R6

44 / 94 / 99 / 100

b (IH39)  Triangle isocèle R2 R3 R3


Escher n'a pas fait de pavage de ce type

c (IH31)  Cerf-volant R3 R3 R6 R6

55 / 56

c (IH21)  Pentagone R2 R3 R3 R6 R6

572 / 70 / 79

Les six groupes de symétrie ne permettant pas de faire des motifs uniques :

DésignationCanevasExemple de motif figuratifDésignationCanevasExemple de motif figuratif

pm
(2 motifs
minimum)

p3m1
(3 motifs
minimum)

cmm
(2 motifs
minimum)

p4m
(3 motifs
minimum)

pmm
(3 motifs
minimum)

p6m
(3 motifs
minimum)

les 35
polygones
de base

ligne séparation

5   UTILISER LES POLYGONES DE BASE

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L'imagination est plus importante que le savoir.
Albert EINSTEIN

La raison, c'est l'intelligence en exercice;
l'imagination, c'est l'intelligence en érection.

Victor HUGO

lettrine vous avez la plume et le parchemin. Vous venez de  prendre connaissance des secrets des canevas. Il vous faut maintenant faire appel au plus important : votre imagination. Si, sur un vieux mur à moitié décrépi, vous voyez apparaître des figures plus ou moins fantastiques, vous avez bon espoir de réussir.

Vous pouvez vous en remettre au hasard pour choisir un polygone de base et tracer des déformations compensées jusqu’à ce que vous obteniez une ébauche de motif. Ou vous pouvez déjà avoir une idée du motif à dessiner, le tracer en gros, y adapter le type de polygone de base convenant le mieux et reprendre les déformations compensées.
Bien sûr, il vous faudra utiliser beaucoup la gomme avant de réussir un pavé figuratif.
Souvent votre motif ne sera qu’à moitié réussi et il vous faudra recommencer.




Mais si vraiment vous n’obtenez rien de satisfaisant, tout n’est pas perdu. À l’aide de votre ordinateur, retracez votre pavé raté. À l’intérieur de votre pavé ajoutez quelques motifs sans rapport, puis sélectionnez le tout et donnez un fond dégradé à tous ces tracés, dans le style arc-en-ciel ou couché de soleil tropical. Il ne vous reste plus qu’à baptiser l’ensemble d’un nom idiot et vous venez de créer un digne représentant de l’art abstrait !

logo infini

Maintenant que vous connaissez comment fonctionnent les canevas, le résumé des 35 polygones de base précèdent va vous aider à donner naissance à des pavés figuratifs. Votre matériel : du papier quadrillé, du papier triangulé pour les types 3 et 6, un crayon et une gomme. C’est tout ! Quand vous voudrez multiplier les pavés pour faire des pavages, un ordinateur avec un programme de dessin sera bien commode. Mais pas indispensable, n’oubliez pas qu’Escher a gravé tous ses pavages à la main. Un logiciel de pavage comme celui de Kevin Lee (TesselManiac) vous apportera aussi une aide précieuse pour la création de pavés.

hexus art abstrait

Hexus
(Art abstrait !) type 1b

grenouilles coude à coude

Coude à coude

antipodistes icariens

Antipodistes icariens impossibles
type 2c

dessin contresens

Contresens

samson art moderne

Le Sommeil de Samson
(Art moderne !) type 2c

dessin attention sapin

Attention … sapin !

 perroquets jaloux

Jaloux

Après ce petit intermède de pavés plus ou moins réussis, revenons à nos polygones de base.

• Prenons un carré de type 1Ga. Traçons quelques lignes brisées sur deux côtés adjacents (a). Puis repportons-les sur les deux autres côtés à l’aide d’une translation et d’une réflexion glissée (b). Étudions la figure ainsi formée : elle a vaguement une allure de bonhomme. Diminuons le bras gauche, cela augmente le bras droit (c) :

Modifions la jambe gauche, cela améliore le bras droit et la jambe droite (d). Travaillons les détails extérieurs en tenant compte à la fois de ce que serait le tracé idéal d’un côté et de ce que serait celui de son isométrie (e). Maintenant traçons les détails intérieurs du bonhomme. On s’aperçoit alors que l’on peut encore améliorer certains tracés extérieurs (f) :

pavé garçon réflection glissée début pavé garçon réflection glissée fin

Rendez-vous compte de ce que nous venons de faire : nous avons transformé un rigide carré en un jeune garçon qui court gaiement sur notre feuille de papier !

pavage garçon va et vient

Va-et-vient

• Prenons maintenant un rectangle, toujours du type 1Ga, et traçons quelques lignes. Nous obtenons bientôt le contour d’un militaire en train de défiler :

Mais sa silhouette est penchée en avant. Transformer le rectangle de base en un parallélogramme va nous permettre de la redresser :

pavés militaire début pavés militaire fin

Et voici, d’un rectangle au départ, nous obtenons un vaillant militaire qui défile fièrement plus bas.

• En fait, bon nombre de dessins de pavés figuratifs ont commencé par être … des dessins ! Prenons par exemple la chèvre ci-dessous. Examinons-la. Il apparait évident qu’il y a une possibilité de réflexion glissée entre les pattes de devant et les cornes :

Puis peut-être une autre entre une patte arrière et la queue. Il ne reste plus qu’à adapter les réflexions glissées dans un cerf-volant de type 1Gb.
Et voilà une brave petite chèvre qui descend de la montagne ci-dessous :

pavé chèvre début pavé chèvre fin

Après ces trois exemples, peut-être cele vous parait-il facile de dessiner des motifs figuratifs. Détrompez-vous, il vous faudra essayer et essayer encore, cent fois sur le métier remettre votre ouvrage.

pavage militaires

Salutations respectueuses

pavage montagne

Montagne

• Reprenons un carré de type 1Ga et essayons quelques ligne. Après tranformation du carré en rectangle puis en parallélogramme apparait un indien, la main levée en signe de paix :

pavés indien

• Après les indiens, voici les cow-boys avec pour polygone de base un hexagone de type 1Gc :

pavés cowboy

• Retrouvons la silhouette mythique du cow-boy de rodeo dans un hexagone concave de type 1Gd :

pavés cowboy de rodéo

Vous remarquerez que le chapeau est détaché du cavalier et de son cheval. Nous avons là, en fait, un pavé composé de deux sous-pavés (voir chapitre Diviser les pavés).

• Restons en Amérique avec le créateur du rockabilly, Elvis lui-même, dans son hexagone régulier de type 1Gc :

pavés elvis presley
pavage indiens

Indiens

pavage émulation elvis

Émulation

pavage cowboy

Cow-boy

pavage rodéo

Rodéo

• Le losange de type 1Sa peut faire apparaître la silhouette d’un ours :

pavage ours type 1sa pavés ours type 1sa

• Mais si l’on penche l’ours, le losange se transforme en un parallélogramme de type 1a :

pavage ours type 1a pavés ours type 1a

• Et, si l’ours se met à danser, le polygone de base devient un cerf-volant de type 1Gb :

pavage ours type 1gb pavés ours type 1gb

• Le rectangle de type 2Gd se transforme facilement en un poisson ondulant et pourrais faire un joli carrelage de salle de bain :

carrelage salle de bain pavés poisson rectangle trait noir

• D’un triangle pointu de type 2a naissent les jolies courbes d’une naïade :

• Ce cheval de jeu d’échec s’est développé à partir d’un quadrilatère de type 2b :

pavés naiade triangle pavés cheval échecs
pavage plongeon naiade

Plongeon en eau trouble

pavage échecs

Échec

• Ce bon gros père remplit très bien un hexagone de type 2Sc :

• Ce parallélogramme de type 2b se transforme en un quadrilatère quelconque pour révéler un judoka en pleine action :

pavés gros père pavés judoka

Mais il a peut-être une face cachée …

pavage gentil méchant

Gentil / Méchant

pavage judo

Judo

• En pleine action également ce singe acrobate issu d’un pentagone concave de type 2Ge :

• Un hexagone de type 2Gg est à la base du poisson ci-dessous. Mais seulement de ses contours car les détails de la moitié des poissons - qui devraient être à l’envers - ont été dessiné à l’endroit :

pavage singes acrobates pavage poissons envers endroit trait noir

• Ce lézard gonflable est très pratique pour être rangé sur la plage. Son polygone de base est un hexagone de type 2Gh :

• La rainette peut aller et venir dans un rectangle de type 2Sa :

Pavage rainette pavage lézards gonflables

• Si l’on excepte ses nageoires ventrales, le scalaire s’adapte parfaitement a un cerf-volant de type 2Sb :

• Ce carré de type 4b peut donner naissance à un oiseau huppé :

pavés scalaire pavés oiseaux huppés
pavage scalaire mimétisme

Mimétisme

pavage oiseaux échiquier

Damier aux oiseaux

trait noir

• Vous pouvez découper le pantin ci-dessous et l’assembler :

pavé pantin

Peut-être remarquez-vous qu’avec les bras et les jambes en l’air celui-ci peut également être issu d’un losange de type 3Sa. Ainsi nous pouvons dessiner ses transformées et nous constituer une armée de pantins !

pantin à découper pavage pantins ligne séparation

6   DIVISER LES PAVÉS

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On ne se distrait jamais si bien qu'à la poursuite de l'éternité.
Jean GIONO

Si tu veux progresser vers l'infini,
explore le fini dans toutes les directions.

Johann Wolfgang von GOETHE

lettrine les cellules se divisent pour se multiplier : pourquoi les  pavés n’en feraient-ils pas autant pour s’en aller deux par deux, voir trois par trois ou même plus, paver l’infini ?

Le pavage avec cet hexagone donnera la figure ci-dessous. Trois couleurs sont nécessaires :

pavage hexagones logo infini

Les pavés de tous les types que nous avons vus peuvent être divisés en autant de sous-pavés que nous le désirons.
Prenons par exemple un hexagone à côtés opposés parallèles du type 1b :

pavé hexagone

Divisons cet hexagone de plusieurs façons :

pavage hexagones divisés 1 pavage hexagones divisés 2 pavage hexagones divisés 3

En fait nous pouvons diviser le pavé de base en autant de façons différentes que nous le souhaitons.
      Diviser entraîne des changements dans les sommets, donc dans le nombre de couleurs minimum. Nous avons vu que, si tous les sommets adjacents d’un pavage isoédrique sont en nombres pairs, deux couleurs suffisent, et que s’il y a des sommets en nombres impairs, trois couleurs sont nécessaires. Il n’en est pas de même pour les sous-pavés qui peuvent nécessiter jusqu’à quatre couleurs.

Exemple type 1bExemple type 3b

pavage hexagones divisés 4 pavage hexagones divisés 5 pavage hexagones divisés 6

• Voici un pavé du type 2Gc qui ne ressemble pas à grand chose :

pavage poissons et lézards pavé poisson lézard 1

Mais sa division en deux laisse apparaître un poisson et un lézard :

pavé poisson lézard 2

• Lors d’une promenade,ramassez une feuille d’arbre. Dessinez-en le contour :

Copiez-en une troisième et une quatrième toujours en faisant coïncider un autre sommet :

pavé feuille 1 pavage feuilles

Avec un calque dessinez une deuxième feuille en faisant coïncider deux sommets :

pavé feuilles 2

Avec cette méthode vous pouvez avoir la chance de voir apparaître un lapin parmi les feuilles d’automne ou une colombe d’entre les étoiles.

pavage lapins feuilles
pavage colombes inaccessibles étoiles

L'inaccessible Étoile

• Voici ceux de l'Inaccessible Étoile : :

• Voici le polygone de base et le pavé de base du "lapin parmi les feuilles d'automne" :

pavés feuille et lapin pavé colombe et étoile

Vous avez peut-être remarqué que la colombe et l’étoile ci-dessus n’ont pas tout à fait le même contour que la colombe du bas et que l’étoile du haut du dessin. C’est que ce dessin style apparition/disparition cher à Escher permet ces à-peu-près. Ces derniers sont parfois encore plus accentués dans les dessins qui vont suivre.

pavage rêve de grenouilles

Rêve de grenouille

pavage prestidigitation

Prestidigitation

pavage joyeux noël bonne année

Joyeux Noël / Bonne Année

pavage contraste

Contraste

pavage le bon et le mauvais

Le Bien et le Mal

pavage cocottes en papier

Rêve de cocotte

pavage mer

Mer

pavage ailes et voiles

Voilures

Voici le pavé de base de 'Deux éléments' :

pavage deux éléments

Deux éléments

pavés deux éléments

• Cet oiseau et ce poisson auraient été parfaits dans un dessin de style apparition/disparition, mais le résultat aurait alors été trop proche de L’Air et l’Eau d’Escher.

• Voici le pavé de base de Regard d’enfant :

pavés écureuil perroquet
pavage regard d'enfant

Regard d'enfant

Ce regard d’enfant qui pourrait être celui d’Albert Flocon - ce brillant artiste graveur - qui établit les règles de la perspective curviligne, celle-ci donnant une image plus logique et plus excitante que la perspective classique pour laquelle on a structuré l’espace avec des droites qui le rendent triste.

"Apprise depuis l’enfance, familière depuis quatre siècles,
l’image traditionnelle passe finalement pour l’image vraie.
Ce n’est peut-être qu’une imposture…"
Albert FLOCON / André BARRE
La Perspective curviligne

Et si, maintenant, nous divisions quelques pavés en plusieurs lézards :

• Voici tout d’abord le pavé de base de Lézards au carré, divisé en trois lézards dont deux identiques :

pavage lézards carrés

Lézards au carré

pavés lézards x 3 pavage lézards 6c

• Et voici celui du pavage ci-contre :

pavés lézards 6c

• La Rosace aux lézards est construite à l’aide de pavés du type 4a et 6b entre lesquels on a fait quelques adaptations :

pavage rosace avec lézards

Rosace aux lézards

pavés lézards 4a et 6b pavage lézards 3b

• Le dessin ci-dessous a un pavé de base du type 3b divisé en quatre lézards :

pavés lézards 3b ligne séparation

7   PAVER AVEC DES MOTS

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Les mots sont la menue monnaie de la pensée.
Il y a des bavards qui nous payent en pièces de dix sous.
D’autres, au contraire, ne donnent que des louis d’or.

Jules RENARD

L’art est beau quand la main, la tête et le cœur travaillent ensemble.
John RUSKIN

lettrine posons-nous la question : les motifs pourraient-ils être autre chose que des figures familières comme des animaux, des  objets ou bien des humains tout en ayant des contours bien reconnaissables ? Eh oui, bien sûr ! il y a les caractères ; ces signes que les hommes ont imaginé pour communiquer et qui sont, de plus, déjà en deux dimensions.
Et mieux encore : il y a les ensembles de caractères que sont les mots et qui ont une signification bien précise. Nous pouvons choisir un mot pour ce ou celui qu’il représente, pour sa valeur à nos yeux. Nous pouvons le dessiner, le travailler, le parfaire … l’aimer tout autant qu’un poète.
Pourquoi Escher n’a t-il pas fait de pavages avec des mots reste un grand mystère. La voie a été indiquée dans un livre de Scott Kim. Son titre ? Inversion. Un livre unique, à la frontère entre la calligraphie et les mathématiques. On y trouve, entre autres merveilles, le mot ‘’figure’’ en blanc sur fond noir et dont l’espace entre les lettres se transforme progressivement en lettres noires sur fond blanc, formant à nouveau le mot ‘’figure’’ en négatif. On y trouve aussi le mot ‘’Lester’’ avec l’espace entre les lettres formant le mot ‘’Pearl’’ (ce sont les parents de Kim). Ce ne sont pas des pavages mais c’est déjà la bonne voie.
Il était tentant d’emprunter cette voie et de faire des mots dans le style de Kim. Il a été enthousiasmant d’aller au bout du chemin et de réaliser un vieux rêve d’enfance : faire des pavages avec des mots. Et si possible avec des mots qui tiennent à cœur.
logo infini

Nous avons vu qu’il est aisé de diviser un pavé en deux, trois ou plus. Eh bien un mot-pavé n’est jamais que l’équivalent d’un pavé divisé en autant de sous-pavés qu’il comporte de lettres, d’accents et/ou de points sur les i. C’est l’assemblage du pavé de base avec ses transformées puis le coloriage qui permet de lire le mot dans différentes couleurs.

• Il n’y a pas de pavage dans l’exemple ci-contre. Mais on pourrait y tailler des pavés de type 4b comme celui ci-dessous :

pavage l'infini

L'Infini

pavé carré l'infini

• Parmi plusieurs premières tentatives de pavage avec un mot, voici celle-ci à droite :
      Tentative non concluante. Mais le résultat est tout de même intéressant.

ambigramme houdini


      • Honneur au bon maître. Voici le pavé de base type 4c utilisé pour Escher pavage :

pavé mot escher
pavage mot escher

Escher pavage

Les transformées de ce pavé de base permettent de lire le mot ‘’Escher’’ dans quatre directions.

pavé mot escher

• On retrouve ce mot-pavé en décor autour du portrait d’Escher :

pavage portrait escher

Escher


     • Reprenons le mot-pavé ‘’Escher’’. Et colorions-le comme ci-dessous. Nous voyons alors apparaître … Le Jardin d’Escher.

pavé escher couleur

Exemple de carrelage :

pavage le jardin d'escher

Le Jardin d'Escher

escher carrelage ligne noire

• Voici le pavé de base type 2e de Kim :

• Axes de translation, axes de rotation, axes de symétrie, axes de réflexion glissée ; les axes sont présents dans tous les pavages. Voici le pavé de base type 6a d'Axes :

pavé kim pavé axes

Les transformées de ce pavé de base permettent de lire le mot ‘’Kim’’ dans deux directions.

• En route pour un petit tour dans les "étoiles". Voici le pavé de base type 6a utilisé :


     • Puis voici le pavé de base type 2c d'Inversion, un mot particulièrement cher à Scott Kim :

pavé étoiles pavé inversion
pavage scott kim

Kim

pavage inversion

Inversion

pavage axes

Axes

pavage étoiles

Étoiles

• Honneur à l’ordre naturel, voici le pavé de base type 4c utilisé pour L’Ordre et le Chaos :

• Encore un contraire, voici le pavé de base type 1b de Paradoxe Jour / Nuit :

pavé ordre pavé jour nuit

• Bien sûr, il faut un nom de musicien. Citer des génies tels que Bach ou Mozart ferait certainement bonne impression … mais ne refléterait pas mon goût pour la bonne vieille musique Country, musique que j’aime et qui m’apporte joie et satisfaction. Et que l’on ne vienne pas me dire qu’il n’y a pas de génie dans la musique Country. Merle Travis non seulement en était un, mais était, de plus un génie multi-talents. Il excellait à la fois comme auteur, compositeur, caricaturiste, horloger, historien, acteur, écrivain, naturaliste, imitateur, concepteur de guitares, chanteur et bien sûr comme guitariste virtuose. On lui doit le style de guitare qui porte son nom, le Travis-pickin’. Style où l’accompagnement, les basses et la mélodie sont joués en même temps.

Voici le pavé de base de Travis:
 

photo merle travis pavé merle travis trait noir
pavage ordre et chaos

L'Ordre et le Chaos

pavage merle travis

Travis

pavage travis pickin'

Travis Pickin'

pavage paradoxe jour nuit

Paradoxe Jour / Nuit

• Brassens… Ah, Brassens ! L’homme aux cent chef-d’œuvres. Le perfectionniste du ‘’beau langage’’ et de l’expression choisie. Le merveilleux artisan ciseleur de mots.
Que le mot ‘’Brassens’’ s’étende à l’infini.

photo georges brassens pavé georges brassens

• Suivant qu’elle est blanche ou noire, la magie désigne soit l’art de produire certains effets merveilleux qui ne sont dus qu’à des causes naturelles, soit la mystificaton sordide par laquelle certaines personnes ont la prétention de produire des effets surnaturels par l’intervention des esprits.
      Voici le pavé de base type 1a utilisé dans Magie blanche / Magie noire :

• Parmis les artistes de la magie blanche, Gérard Majax en est un digne représentant, lequel n’hésite pas à œuvrer contre les fumistes de l’illusion, les soi-disant possesseurs de pouvoirs extraordinaires et autres ‘’tordeurs‘’ de petites cuillères.
     Voici son pavé de base type 1b :

pavé magie pavé majax
pavage georges brassens

Brassens

pavage le grand chêne

Le Grand Chêne

pavage magie blanche magie noire

Magie blanche / Magie noire

pavage gérard majax

Majax

• Naturellement, voici le pavé de base type 1b de l’incon-tournable Infini :

• Puis voici le pavé de base type 2e de Pavé ! D'abord en deux tons puis en un seul ton dégradé.

pavé infini pavé pave

• Ce pavé type 6a presque triangulaire est celui de Pavage victorien :

pavé victorien

• Si un nom mérite bien de paver l’infini, c’est bien celui d’"Einstein". Voici le pavé de base type 2e utilisé :

photo albert einstein pavé albert einstein

"La joie de contempler et de comprendre,
voilà le language que me porte la nature."
Albert EINSTEIN
Comment je vois le monde

pavage infini

Infini

pavage mot pave

Pavé

pavage victorien

Pavage victorien

pavage albert einstein

Einstein pavage

• Erno Rubik est l’inventeur du Rubik’s Cube, le plus diabolique de tous les casse-têtes. Voici le pavé de base type 6d de Rubik's Cube :

• Où se situe la frontière entre le bien et le mal ? Voici le pavé de base type 1b de Frontière :

pavé bien mal pavé ernö rubik

• Voici celui de Nicolas Pavage 2 en type 3a :

• Il est, bien sûr, tentant de paver avec son propre nom. Voici le pavé de base type 1b de Nicolas :

pavé 3a nicolas pavé 1b nicolas

• Pour finir avec les mots, revoici ‘’infini’’ écrit de façon qu’avec sa transformée par rotation il occupe exactement un rectangle. On peut alors assembler les mots comme des briques.

• Puis le même mot dans un parallélogramme :

pavé parallélogramme infini pavé rectangle infini
pavage rubik's cube

Rubik's cube

pavage frontière bien mal

Frontière

pavage nicolas étoiles

Nicolas pavage

tableau pavage nicolas

Nicolas

pavage nicolas 2 colors

Nicolas 2 couleurs

pavage carré d'infini

Carré d'infini

pavage cube d'infini

Cube d'infini

ligne séparation

8   DÉFORMER LES CANEVAS

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Ce qui vaut la peine d’être fait vaut la peine d’être bien fait.
Nicolas POUSSIN

L’harmonie des proportions satisfait les sens.
Saint Thomas d'AQUIN

lettrine le mieux est l’ennemi du bien. Mais le bien est souvent  l’ami du médiocre ! Cherchons le mieux en déformant les canevas pour en habiller des cercles concentriques, des spirales, des effets de perspective ou de volume. Cela nous permettra de découvrir de nouveaux horizons pleins de merveilleuses harmonies.
pavés perspective logo infini

Ci-contre, voici par exemple ce que donne un canevas du type 2S sur une perspective :

trait noir

• Voici le pavage type 2Gb de Cascade :

• Voici celui de Miel, type 2Sb :

pavage cascade 2gb pavage abeilles 2sb

• Voici celui de Plouf ! type 1Sb :

• Voici celui de Spirale d'infini, type 2d :

pavage plouf 1sb pavage spirale d'infini 2d
pavage déformé cascade

Cascade

pavage déformé miel

Miel

pavage déformé plouf

Plouf !

pavage déformé spirale d'infini

Spirale d'infini

pavage déformé inversion

Inversion 2

pavage déformé ruban de möbius

Rubans de Möbius

pavage déformé translation dans l'infini

Translation dans l'infini

pavage déformé albert einstein

Einstein

pavage déformé nicolas tête dans les étoiles

La Tête dans les étoiles

pavage déformé majax

Majax

pavage déformé pave étoile

Pavage étoile

pavage déformé la danse du feu

La Danse du feu

Salut…
C'est encore
moi !

• Ci-contre, voici le pavage d’origine type 6b qui a servi pour Cercles. Neuf couleurs sont nécessaires pour avoir des cercles de lézards ne se coupant pas.

pavage lézards type 6b

• Ce même pavage a également servi pour l’Icosaèdre aux lézards ci-dessous. Un icosaèdre est un polyèdre avec vingt triangles équilatéraux pour faces. Six couleurs sont nécessaires pour avoir une répartition harmonieuse. Il y a cinq nez de lézards par sommet.

• Comment mettre sept nez de lézards par sommet ? C’est impossible sur le plan normal, mais pas sur un disque hyperbolique. Les lézards se trouvent alors diminués jusqu’à l’infini sur une limite circulaire. Pour que les lézards qui se suivent soient de la même couleur et que deux colonnes de même couleur ne se croisent pas, sept couleurs sont nécessaires. En fait, dans tout le disque, si l’on tient compte des couleurs, il n’y a pas deux lézards identiques.

pavage lézards cercles

Cercles

pavage icosaèdre aux lézards

Icosaèdre aux lézards

pavage limite circulaire

Limite circulaire

ligne séparation

9   JOUER AVEC LES ISOMÉTRIES

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C’est faire confiance à la vie,
que se mesurer avec l’impossible.

Panait ISTRATI

Atteindre l'inaccessible étoile, telle est ma quête.
Jacques BREL

lettrine on ne peut aller au-delà des limites du possible, mais on peut les reculer. Pour cela, que pouvons-nous encore faire ?  Par exemple, aurions-nous la possibilité de modifier ou de rajouter des isométries sur les polygones de base ? La réponse est oui. Nous obtenons alors des super-pavés aux caractéristiques étonnantes.
logo infini

• Prenons le polygone de base 3a :

Ajoutons-lui les isométries du polygone de base 1Gb, soit deux réflexions glissées. Nous obtenons alors le polygone suivant :

pavé losange 3a pavé losange 1gb

Sur un losange nous avons deux isométries différentes de rotation 3.


Dessinons un motif selon ce polygone. Par exemple le ‘’p’tit loup’’ ci-contre. Il a l’air effaré car il vient de se rendre compte qu’il pouvait paver le plan non seulement selon les types 3a et 1Gb, mais également de bien d’autres façons.

pavé p'tit loup

Pavage type 3a :

pavé p'tit loup 2c

Pavé type 2c divisé en deux motifs identiques

pavage p'tit loup 3a />
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Pavé type 2Ge divisé en deux motifs identiques

pavé p'tit loup 6c

Pavé type 6c divisé en deux motifs identiques

Pavage type 1Gb :

pavage p'tit loup 1gb pavé p'tit loup 3b

Pavé type 3b divisé en trois motifs identiques

pavé p'tit loup 1a

Pavé type 1a divisé en quatre motifs identiques

pavage rosace avec loups

Rosace aux p'tits loups

• Prenons maintenant le polygone de base 6a. Nous avons là un triangle équilatéral possédant une isométrie de rotation 6 et une de rotation 2 :

Par exemple ce poisson :

pavé poisson limite pavé poisson limite 6a

De ce poisson, nous pouvons, bien sûr, faire un pavage de type 6a :

pavage poisson limite

Puis dessinons un motif de façon que chaque côté de la rotation 2 soit la réduction de moitié de chaque déformation compensée de la rotation 6 :

pavé poisson limite réduction trait noir

Mais nous pouvons aussi lui accoler trois petits poissons identiques :

De cette façon, cela nous donne un pavé de type 6d divisé en quatre :

pavé poisson limite x 4 pavé poisson limite 6d
pavage famille poisson

Mais ce n’est pas tout. Reprenons notre poisson et faisons lui subir une rotation 6. Nous pouvons rajouter tout autour une couronne de petits poissons. Puis à nouveau, accoler une couronne de poissons encore plus petits, et ainsi de suite jusqu’à l’infini. Nous obtenons alors une figure parfaitement hexagonale.

pavage poissons limite hexagonale

Limite hexagonale

• Non sans rappeler l’exemple précédent, mais avec un résultat différent, prenons un cerf-volant du type 6c :

Pavage type 6c :

pavage papillons 6c pavé cerf-volant 6c

Dessinons un motif de façon que les deux côtés de la rotation 3 soient égaux aux côtés de la rotation 6 par la tangente de 30° (0,5774). Par exemple ce papillon :

pavé papillon 6c

Pavage type 6d :

pavage famille papillon

Nous pouvons faire un pavage de type 6c mais également de type 6d si nous accolons quatre petits papillons comme ci-dessous :

pavé papillons 6d
pavage papillons partie

Pour construire le Flocon de papillon ci-dessous, il faut faire une rotation 6. Puis à la périphérie, accoler une couronne de petits papillons quatre fois plus nombreux. Puis à cette nouvelle périphérie, faire de même trois fois.
On peut, bien entendu, continuer de rajouter des couronnes à l’infini. Chaque nouvelle couronne alors, générera de plus en plus de points d’infini comme ci-dessous. En sommes nous obtiendrons… une infinité d’infinis.

pavage flocon papillons

Flocon de papillons

• Comme pour le papillon, mais en inversant les côtés de la rotation 3, nous pouvons faire l'oiseau ci-contre.
Par contre, celui-ci ne peut pas être diminué à l’infini. Il faut obligatoirement s’arrêter à la cinquième couronne.

pavé oiseau 6c

• Prenons le polygone de base 4S, soit un carré ayant deux rotations 4 symétriques. Puis rajoutons-lui quatre rotations 2 :

Dessinons, par exemple, cet oiseau :

pavé oiseau 4s pavés carrés 4s

Nous pouvons paver le plan selon différents types ou bien faire une rosace ou un pavage non périodique tel celui ci-dessous. L’on y voit une masse grouillante d’oiseaux parmis lesquels certains vont droit leur chemin et quelques-uns, plus rares, illuminent les quatres horizons.

pavage flocon d'oiseaux

Flocon d'oiseaux

pavage points cardinaux

Points cardinaux

• Voyons si nous pouvons dessiner un motif qui possède plusieurs pavés de base :

Ce ‘’brav’ toutou’’ fera l’affaire :

pavé brav' toutou  trois pavés brav' toutou

Pavage type 3b :

Pavage type 2Gg :

Pavage type 1Gc :

Rosace :

pavage brav' toutou 3b pavage brav' toutou 2gg pavage brav' toutou 1gc
pavage rosace brav' toutou

• Et si nous retrouvions nos amis les lézards ? Dans l’estampe De plus en plus petit (N°35), Escher a utilisé un triangle rectangle isocèle du type 4a pour diminuer ses lézards jusqu’à l’infini selon le shéma ci-dessous :

Cela nous permet de dessiner deux lézards par triangle au lieu d’un :

pavés lézards limite pavés 4a lézards limite

Nous pouvons maintenant faire une rotation 4 et diminuer les lézards jusqu’à l’infini. La façon la plus directe donne un octogone.
En fait, il n’y a pas qu’un couple de lézards différents, mais quatre. Cela afin de permettre les adaptations.
Escher, dans De plus en plus petit, a dessiné neuf lézards différents.

pavés lézards limite inverse

Inversons le sens
des triangles comme suit :

pavage limite octogonale

Limite octogonale

pavage flocon de lézards

Flocon de lézards

pavage double limite hexagonale

Limite double

J’espère que vous avez eu beaucoup de plaisir à regarder cette méthode. Ce sera le mot de la…

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